Comment les informations de Fisher sont-elles utilisées dans les statistiques bayésiennes ?

Salut! Je travaille pour un fournisseur de Fisher et je suis ici pour discuter de la manière dont les informations de Fisher sont utilisées dans les statistiques bayésiennes. Cela semble un peu technique, non ? Mais croyez-moi, ce n'est pas aussi compliqué qu'il y paraît.

Commençons par un peu de contexte. Les statistiques bayésiennes sont avant tout une question de probabilité et de déductions basées sur les connaissances existantes. Il combine des croyances antérieures (nos idées initiales sur quelque chose) avec de nouvelles données pour aboutir à des probabilités postérieures (croyances mises à jour après avoir pris en compte de nouvelles informations). Et les informations de Fisher ? Eh bien, c'est ce concept intéressant qui nous aide à comprendre la quantité d'informations qu'un échantillon de données contient sur un paramètre inconnu.

Dans le monde des statistiques bayésiennes, les informations de Fisher jouent un rôle assez crucial. L’une des principales façons de l’utiliser est le calcul de la distribution a posteriori. La distribution a posteriori est ce que nous recherchons réellement dans l'analyse bayésienne : elle nous indique quelles sont les probabilités de différentes valeurs de paramètres après avoir pris en compte à la fois nos croyances antérieures et les nouvelles données que nous avons collectées.

Les informations de Fisher nous aident à quantifier la courbure de la fonction log-vraisemblance. La fonction log-vraisemblance est un élément clé du calcul bayésien. Il mesure dans quelle mesure les données correspondent aux différentes valeurs de paramètres possibles. La courbure de cette fonction nous donne une idée de son degré de pointe ou de plat. Une fonction avec un pic marqué signifie que les données sont très informatives sur le paramètre et que nous pouvons être assez sûrs de sa valeur. En revanche, une fonction plus plate signifie que les données ne sont pas aussi concluantes et qu'il y a plus d'incertitude.

Par exemple, disons que nous essayons d'estimer la moyenne d'une distribution normale. Les informations de Fisher concernant la moyenne d'une distribution normale sont liées à la taille de l'échantillon et à la variance. Si nous disposons d'un échantillon de grande taille et d'une faible variance, l'information de Fisher sera élevée et notre fonction de log-vraisemblance atteindra fortement son apogée. Cela signifie que nous pouvons estimer la moyenne avec un degré de confiance élevé.

Dans le cadre de nos produits Fisher, comme lePositionneur Fisher DVC6200, Les informations de Fisher peuvent être utilisées dans le contrôle de la qualité et la surveillance des performances. Lorsque nous collectons des données sur les performances du positionneur, telles que sa précision ou son temps de réponse, nous pouvons utiliser les statistiques bayésiennes avec les informations de Fisher pour mettre à jour nos convictions sur son fonctionnement.

Disons que nous avons des connaissances préalables sur les performances typiques du positionneur Fisher DVC6200. Sur la base des expériences passées, nous avons une idée de ce que devraient être la moyenne et la variance de sa précision. Mais ensuite nous commençons à collecter de nouvelles données à partir d’un ensemble de tests. Nous pouvons utiliser les informations de Fisher issues de ces nouvelles données pour mettre à jour nos croyances antérieures. Si les nouvelles données ont une information de Fisher élevée, cela signifie qu'elles sont très informatives et nos croyances a posteriori seront plus proches de ce que suggèrent les nouvelles données.

Les informations de Fisher sont également utilisées dans les statistiques bayésiennes lors de la sélection de modèles. Dans de nombreux cas, nous disposons de plusieurs modèles susceptibles d’expliquer nos données. La sélection de modèles bayésiens nous aide à choisir le meilleur en comparant les probabilités a posteriori de différents modèles. Les informations de Fisher peuvent être utilisées pour calculer les facteurs Bayes, qui sont un rapport des vraisemblances marginales de différents modèles.

Par exemple, si nous essayons de choisir entre deux modèles différents pour le comportement duCapteur Fisher 846. Un modèle pourrait supposer une relation linéaire entre l’entrée et la sortie, tandis que l’autre pourrait supposer une relation non linéaire plus complexe. Nous pouvons utiliser la sélection de modèles bayésiens avec les informations de Fisher pour déterminer quel modèle est le plus susceptible d'être correct sur la base des données que nous avons collectées.

Les informations de Fisher ont également un impact sur l'efficacité des estimateurs bayésiens. Un estimateur efficace est celui qui présente la plus petite variance possible parmi tous les estimateurs impartiaux. Dans les statistiques bayésiennes, les informations de Fisher nous aident à comprendre la limite inférieure de la variance d'un estimateur. C'est ce qu'on appelle la limite inférieure Cramér - Rao.

Si nous utilisons un estimateur bayésien pour un paramètre lié à notreI2P-100, nous pouvons utiliser les informations de Fisher pour vérifier l'efficacité de notre estimateur. Si la variance de notre estimateur est proche de la limite inférieure de Cramér - Rao, cela signifie que nous faisons un assez bon travail en termes d'estimation du paramètre.

Maintenant, vous pensez peut-être : « Tout cela est génial, mais en quoi cela m'affecte-t-il réellement en tant qu'acheteur potentiel ? Eh bien, l'utilisation des statistiques bayésiennes avec les informations de Fisher dans le développement de nos produits et le contrôle qualité signifie que nous pouvons vous proposer des produits plus fiables et plus performants.

Lorsque nous utilisons ces méthodes statistiques, nous sommes en mesure de prendre de meilleures décisions concernant la conception des produits, les processus de fabrication et l'assurance qualité. Il en résulte des produits plus précis, plus durables et plus efficaces. Que vous ayez besoin de la précision du positionneur Fisher DVC6200, de la stabilité du transducteur Fisher 846 ou de la fonctionnalité de l'I2P-100, vous pouvez être sûr que nous avons utilisé les dernières techniques statistiques pour garantir les meilleures performances possibles.

Si vous souhaitez en savoir plus sur nos produits Fisher ou si vous avez des questions sur la manière dont ces concepts statistiques s'y appliquent, nous serions ravis de discuter avec vous. Que vous envisagiez un achat à petite échelle ou un projet industriel à grande échelle, nous sommes là pour vous aider. Contactez-nous pour entamer une discussion sur vos besoins spécifiques et comment nos produits peuvent y répondre.

Références

• Gelman, A., Carlin, JB, Stern, HS, Dunson, DB, Vehtari, A. et Rubin, DB (2013). Analyse des données bayésiennes (3e éd.). Chapman et Hall/CRC.
• Fisher, RA (1922). Sur les fondements mathématiques de la statistique théorique. Transactions philosophiques de la Royal Society de Londres. Série A, contenant des articles à caractère mathématique ou physique, 222, 309 - 368.